Área y volumen de una esfera

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Para calcular la superficie de los poliedros y de algunos cuerpos de revolución, hacemos su desarrollo plano y a partir de él, obtenemos la superficie; pero con la esfera tenemos un problema...¡no podemos desarrollarla sobre el plano más que por una aproximación!

Entonces ¿cómo podemos calcular su superficie? ¿Y su volumen?

 

Arquímedes demostró que el área de una esfera es igual al área lateral de un cilindro que tenga el mismo radio y cuya altura sea el diámetro de la esfera.

La imagen muestra una esfera envuelta por un cilindro que se ajusta por completo a ella, un cilindro de radio R y altura 2R.

Tenemos entonces que el área de la esfera es igual al área lateral de ese cilindro:

A Esfera = A Lateral del cilindro = 2R x 2R = 4R2

 

Ahora vamos a imaginarnos que llenamos el espacio que no está ocupado en el cilindro con agua.

Si sacamos la esfera y nos fijamos en la cantidad de agua que hay, veremos que sólo ocupa la tercera parte del cilindro.


Tenemos entonces que la esfera sólo ocupa las dos terceras partes del volumen del cilindro que la contiene:

V Esfera = 2/3 V Cilindro = 2/3 x R2 x 2R = 4/3 R3

Esta fórmula fue descubierta por Arquímedes, quien demostró que el volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro circular circunscrito a ella.

Tanto le impresionó esto a él mismo que mandó grabar en su tumba esta figura en recuerdo de la mejor de sus ideas:


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